MA-179

Matte-2

Oversikt: Matriser og lineære likningssystemer

Denne filen gir en samlet oversikt over sentrale begreper knyttet til matriser og lineære likningssystemer.

---

1. Systemer av linjære likninger

Et system av linjære likninger er en samling likninger på formen:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b

Eksempel: 2x + y = 5 x − y = 1

Matriseform (utvidet matrise)

Systemet kan skrives som en utvidet matrise:

[ 2 1 | 5 ]

[ 1 -1 | 1 ]

Målet er å forenkle matrisen for å finne løsning(er).

---

2. Elementære rad-operasjoner

Disse operasjonene brukes for å løse systemer og bevare løsningene:

1. Bytte to rader

   R₁ ↔ R₂

2. Multiplisere en rad med en ikke-null konstant

   cR₁ → R₁ (c ≠ 0)

3. Legge et multiplum av én rad til en annen

   R₂ + cR₁ → R₂

Disse endrer ikke løsningen til systemet.

---

3. Ledende element (Leading entry)

Det ledende elementet i en rad er:

• Det første ikke-null-tallet fra venstre i raden

Eksempel:

[ 0 0 3 1 ]

  ↑

ledende element

---

4. Trappeform (Row Echelon Form)

En matrise er på trappeform hvis:

1. Alle nullrader ligger nederst
2. Det ledende elementet i hver rad er til høyre for det i raden over
3. Alle elementer under et ledende element er null

Eksempel:

[ 1 2 0 | 3 ]

[ 0 1 -1 | 4 ]

[ 0 0 1 | 2 ]

---

5. Redusert trappeform (Reduced Row Echelon Form – RREF)

En matrise er på redusert trappeform hvis:

1. Den er på trappeform
2. Alle ledende elementer er 1
3. Alle elementer over og under hvert ledende element er 0

Eksempel:

Dette gir løsningen direkte.

---

6. Pivot

En pivot er:

• Et ledende element som brukes som referanse for rad-operasjoner
• Vanligvis gjort om til tallet 1

Eksempel:

[ 1 3 0 ]

↑

pivot

---

7. Pivot-posisjon

En pivot-posisjon er:

• Posisjonen i matrisen der en pivot står
• Bestemmes ut fra trappeformen (ikke originalmatrisen)

Eksempel:

[ 1 2 0 ]

[ 0 1 3 ]

Pivot-posisjoner:

• (rad 1, kolonne 1)
• (rad 2, kolonne 2)

---

8. Pivot-søyle

En pivot-søyle er:

• En kolonne som inneholder en pivot
• Tilsvarer en ledende variabel i systemet

Ikke-pivot-søyler:

• Tilsvarer frie variabler

Eksempel:

[ 1 0 4 ]

[ 0 1 2 ]

Pivot-søyler: 1 og 2
Ikke-pivot-søyle: 3

---

9. Oppsummering

Begrep	Kort forklaring
Linjært system	Flere lineære likninger
Elementære rad-operasjoner	Tillatte operasjoner på rader
Ledende element	Første ikke-null i en rad
Trappeform	Nuller under ledende elementer
Redusert trappeform	Nuller både over og under pivoter
Pivot	Ledende 1 brukt som referanse
Pivot-posisjon	Plasseringen til pivoten
Pivot-søyle	Kolonne som inneholder pivot

---